Дано два паралельних, але не рівних між собою відрізки $AB$ і $CD$. Чи може один з них перейти у другий при гомотетії? Якщо так, то поясніть, як знайти центр цієї гомотетії. Скільки таких центрів може бути?
Розв’язок:
Відрізок $AB$ може перейти у відрізок $CD$ при гомотетії, оскільки вони паралельні. Центр гомотетії — точка перетину прямих, що проходять через відповідні кінці відрізків: $AC$ і $BD$ (якщо $A \rightarrow C$, $B \rightarrow D$) або $AD$ і $BC$ (якщо $A \rightarrow D$, $B \rightarrow C$).
Центрів гомотетії може бути два:
1) Точка перетину прямих $CA$ і $DB$ (рис. 1) — це центр гомотетії з коефіцієнтом $k>0$ ($A \rightarrow C$, $B \rightarrow D$).
2) Точка перетину відрізків $AD$ і $BC$ (рис. 2) — це центр гомотетії з коефіцієнтом $k<0$ ($A \rightarrow D$, $B \rightarrow C$).
Відповідь:
Так, може. Центрів гомотетії два: точка перетину прямих $AC$ і $BD$ (гомотетія $A \rightarrow C$, $B \rightarrow D$) і точка перетину прямих $AD$ і $BC$ (гомотетія $A \rightarrow D$, $B \rightarrow C$); для одного з них $k>0$, для другого $k<0$.