№ 106 Геометрія = № 106 Математика
Основа трапеції дорівнює 12 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 2 см і 3 см. Знайдіть площу трапеції.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — трапеція, $BC \parallel AD$, $BC = 12$ см. Діагоналі $AC$ і $BD$ перетинаються в точці $O$. Проведемо $OK \perp BC$ і $OL \perp AD$, $O \in KL$.
Точка $O$ віддалена від основ на 2 см і 3 см, тому $KL=2+3=5$ (см) — висота трапеції.
$\bigtriangleup BOC \sim \bigtriangleup DOA$ за двома кутами ($\angle BOC = \angle DOA$ як вертикальні, $\angle OBC = \angle ODA$ як внутрішні різносторонні при $BC \parallel AD$ і січній $BD$).
Тоді $\frac{BC}{AD} = \frac{OK}{OL}$;
I випадок. $OK=2$ см, $OL=3$ см.
$\frac{12}{AD} = \frac{2}{3}$;
$AD = \frac{12 \cdot 3}{2} = 18$ (см).
$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot KL =$
$= \frac{12 + 18}{2} \cdot 5 = 75\text{ (см}^{2}\text{)}.$
II випадок. $OK=3$ см, $OL=2$ см.
$\frac{12}{AD}=\frac{3}{2}$;
$AD=\frac{12\cdot2}{3}=8$ (см).
$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot KL=$
$=\frac{12+8}{2}\cdot5=50$ (см$^{2}$).
Відповідь:
75 см$^{2}$ або 50 см$^{2}$.