№ 106 Геометрія = № 106 Математика
Основа трапеції дорівнює 12 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 2 см і 3 см. Знайдіть площу трапеції.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — трапеція, $BC \parallel AD$, $BC = 12$ см. Діагоналі $AC$ і $BD$ перетинаються в точці $O$. Проведемо $OK \perp BC$ і $OL \perp AD$, $O \in KL$.
$OK = 2$ см, $OL = 3$ см, $KL = OK + OL = 2 + 3 = 5$ (см) — висота трапеції.
$\bigtriangleup BOC \sim \bigtriangleup DOA$ за двома кутами ($\angle BOC = \angle DOA$ як вертикальні, $\angle OBC = \angle ODA$ як внутрішні різносторонні при $BC \parallel AD$ і січній $BD$).
Тоді $\frac{BC}{AD} = \frac{OK}{OL}$;
$\frac{12}{AD} = \frac{2}{3}$;
$AD = \frac{12 \cdot 3}{2} = 18$ (см).
$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot KL =$
$= \frac{12 + 18}{2} \cdot 5 = 75\text{ (см}^{2}\text{)}.$
Відповідь:
75 см$^{2}$.