№ 105 Геометрія = № 105 Математика
У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить катет на відрізки завдовжки 3 см і 9 см. Знайдіть площу трикутника.
Розв'язок:
У $\bigtriangleup ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$) $N$, $P$, $K$ — точки дотику вписаного кола, $N \in AC$.
Нехай $AN = 9$ см, $NC = 3$ см. $ON \perp AC$, $OP \perp AB$, $OK \perp BC$ — радіуси вписаного кола.
$AP = AN = 9$ см, $BK = NC = 3$ см як відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки.
$AC = AN + NC = 9 + 3 = 12$ (см).
$CNOK$ — квадрат (паралелограм з прямим кутом і рівними сусідніми сторонами).
Нехай $KB = PB = x$ см. Тоді $AB = (x + 9)$ см, $BC = (x + 3)$ см.
За теоремою Піфагора: $AB^{2} = AC^{2} + BC^{2}$;
$(x + 9)^{2} = 12^{2} + (x + 3)^{2}$;
$x^{2} + 18x + 81 = $
$= 144 + x^{2} + 6x + 9$;
$18x - 6x = 153 - 81$;
$12x = 72$;
$x = 6$.
Отже, $BC = 3 + 6 = 9$ (см).
$S_{\bigtriangleup ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC =$
$= \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54\text{ (см}^{2}\text{)}.$
Відповідь:
54 см$^{2}$.