№ 78 Геометрія = № 78 Математика
Сторони прямокутника дорівнюють 12 см і 20 см. Знайдіть гострий кут між діагоналями прямокутника з точністю до градуса.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — прямокутник, $AD = 20$ см, $CD = 12$ см. $O$ — точка перетину діагоналей.
З $\bigtriangleup ACD$ ($\angle D = 90{^\circ}$):
$\text{tg}\,\angle ACD = \frac{AD}{CD} = \frac{20}{12} =$
$= \frac{5}{3} \approx 1{,}6667.$
$\angle ACD \approx 59{^\circ}$.
За властивістю діагоналей прямокутника $AO = CO = DO$, тому $\bigtriangleup COD$ — рівнобедрений, і $\angle ODC = \angle OCD =$
$= \angle ACD \approx 59{^\circ}$.
Кут $COD$ лежить проти меншої сторони $CD=12$ см, тому він гострий; це і є шуканий кут між діагоналями (суміжний з ним $\angle AOD=180^{\circ}-\angle COD$ — тупий).
Для $\bigtriangleup COD$:
$\angle COD = 180{^\circ} - 2 \cdot \angle ACD \approx $
$\approx 180{^\circ} - 2 \cdot 59{^\circ} =$
$=180{^\circ} - 118{^\circ} = 62{^\circ}.$
Відповідь:
$\approx 62{^\circ}$.