№ 77 Геометрія = № 77 Математика
Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки 30 см і 40 см завдовжки. Знайдіть периметр трикутника.
Розв'язок:
У $\bigtriangleup ABC$ $\angle C = 90{^\circ}$, $CL$ — бісектриса кута $C$, $L \in AB$.
$AL = 30$ см, $LB = 40$ см, $AB = AL + LB =$
$= 30 + 40 = 70$ (см).
За властивістю бісектриси:
$\frac{AC}{CB} = \frac{AL}{LB} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}.$
Позначимо $AC = 3x$ см, $CB = 4x$ см.
За теоремою Піфагора $AB^{2} = AC^{2} + BC^{2}$:
${70^{2} = (3x)^{2} + (4x)^{2}; }$
${4900 = 9x^{2} + 16x^{2}; }$
$25x^{2} = 4900; x^{2} = 196; x = 14.$
$AC = 3 \cdot 14 = 42$ (см); $CB = 4 \cdot 14 = 56$ (см).
$P_{\bigtriangleup ABC} = AC + CB + AB =$
$= 42 + 56 + 70 = 168\text{ (см)}.$
Відповідь:
$168$ см.