№ 2.23 Геометрія = № 2.23 Математика
Доведіть тригонометричну тотожність:
1) $\cos^{2}\alpha+\text{tg}^{2}\alpha\cdot\cos^{2}\alpha=1$
2) $(sin\alpha+cos\alpha)(sin\alpha-cos\alpha)=1-2\cos^{2}\alpha$
Розв’язок:
1) Перетворимо ліву частину:
$\cos^{2}\alpha+\text{tg}^{2}\alpha\cdot\cos^{2}\alpha=$
$=\cos^{2}\alpha+\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}\cdot\cos^{2}\alpha=$
$=\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1$ (за основною тригонометричною тотожністю).
Ліва частина дорівнює правій. Що й треба було довести.
2) Перетворимо ліву частину за формулою різниці квадратів:
$\left( \sin\alpha+\cos\alpha \right)\left( \sin\alpha-\cos\alpha \right)=$
$=\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha$.
Замінимо $\sin^{2}\alpha$ за основною тригонометричною тотожністю:
$\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha=$
$=\left( 1-\cos^{2}\alpha \right)-\cos^{2}\alpha=$
$=1-2\cos^{2}\alpha$.
Ліва частина дорівнює правій. Що й треба було довести.