№ 2.40 Геометрія = № 2.40 Математика
Бічні сторони трапеції дорівнюють $6$ см і $8$ см, а відстань між серединами її діагоналей дорівнює $5$ см. Знайдіть відстань між серединами основ трапеції.
Розв’язок:
$ABCD$ — трапеція, у якої $AB=6$ см, $CD=8$ см.
$K$ — середина $AC$; $M$ — середина $BD$; $KM=5$ см.
$E$ — середина $BC$; $F$ — середина $AD$.
$EK$ — середня лінія $\bigtriangleup ABC$:
$EK=\frac{1}{2}AB=3$ см; $EK \parallel AB$.
$MF$ — середня лінія $\bigtriangleup ABD$:
$MF=\frac{1}{2}AB=3$ см; $MF \parallel AB$.
Звідси $EK \parallel MF$ і $EK=MF$. Отже, $KEMF$ — паралелограм.
Аналогічно: $EM$ — середня лінія $\bigtriangleup BCD$:
$EM=\frac{1}{2}CD=4$ см.
$KF$ — середня лінія $\bigtriangleup ACD$:
$KF=\frac{1}{2}CD=4$ см.
У паралелограмі $KEMF$: $KE=3$ см, $EM=4$ см, $KM=5$ см — діагональ.
У трикутнику $KEM$: $KE^{2}+EM^{2}=3^{2}+4^{2}=25=5^{2}=KM^{2}$. Тоді за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, $\angle KEM=90^{\circ}$.
Отже, паралелограм $KEMF$ — прямокутник. Діагоналі прямокутника рівні, тому
$EF=KM=5$ (см).
Відповідь:
$5$ см.