№ 2.40 Геометрія = № 2.40 Математика
Бічні сторони трапеції дорівнюють $6$ см і $8$ см, а відстань між серединами її діагоналей дорівнює $5$ см. Знайдіть відстань між серединами основ трапеції.
Розв’язок:
$ABCD$ — трапеція, у якої $AB=6$ см, $CD=8$ см.
$K$ — середина $AC$; $M$ — середина $BD$; $KM=5$ см.
$E$ — середина $BC$; $F$ — середина $AD$.
$EK$ — середня лінія $\bigtriangleup ABC$:
$EK=\frac{1}{2}AB=3$ см; $EK \parallel AB$.
$MF$ — середня лінія $\bigtriangleup ABD$:
$MF=\frac{1}{2}AB=3$ см; $MF \parallel AB$.
Звідси $EK \parallel MF$ і $EK=MF$. Отже, $KEMF$ — паралелограм.
Аналогічно: $EM$ — середня лінія $\bigtriangleup BCD$:
$EM=\frac{1}{2}CD=4$ см.
$KF$ — середня лінія $\bigtriangleup ACD$:
$KF=\frac{1}{2}CD=4$ см.
У паралелограмі $EMFK$: $KM$ і $EF$ — діагоналі; $KE,EM,MF,KF$ — сторони.
За властивістю діагоналей паралелограма (сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх сторін):
$KM^{2}+EF^{2}=KE^{2}+EM^{2}+MF^{2}+KF^{2}$
$5^{2}+EF^{2}=3^{2}+4^{2}+3^{2}+4^{2}$
$EF^{2}=9+16+9+16-25$
$EF^{2}=25$
$EF=5$ (см).
Відповідь:
$5$ см.