№ 3.45 Геометрія = № 3.45 Математика
Одна зі сторін трикутника та висота, проведена до неї, дорівнюють по $20$ см. Знайдіть дві інші сторони трикутника, якщо висота, проведена до однієї з них, дорівнює $16$ см.
Розв’язок:
Нехай сторона $a=20$ см, висота до неї $h_{a}=20$ см, інша висота $h_{b}=16$ см.
Площа трикутника:
$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{a}=\frac{1}{2}\cdot20\cdot20=200\text{ (см}^{2}\text{)}$
З іншого боку, $S=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h_{b}$, де $b$ — сторона, до якої проведено висоту $16$ см.
$200=\frac{1}{2}\cdot b\cdot16$
$200=8b$
$b=25\text{ (см)}$
Знайдемо відрізки, на які висота $h_{a}$ ділить сторону $a$. Нехай $KC=x$, тоді за теоремою Піфагора з трикутника $AKC$:
$KC^{2}=AC^{2}-AK^{2}=$
$=25^{2}-20^{2}=625-400=225$
$KC=15\text{ (см)}$
Тоді $BK=BC-KC=20-15=5$ (см).
З трикутника $ABK$ за теоремою Піфагора:
$AB=\sqrt{AK^{2}+BK^{2}}=\sqrt{20^{2}+5^{2}}=$
$=\sqrt{400+25}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}\text{ (см)}$
Або, якщо висота падає на продовження сторони:
$CK=\sqrt{AC^{2}-AK^{2}}=$
$=\sqrt{25^{2}-20^{2}}=15\text{ (см)}$
$BK=BC+CK=20+15=35\text{ (см)}$
$AB=\sqrt{AK^{2}+BK^{2}}=$
$=\sqrt{20^{2}+35^{2}}=\sqrt{400+1225}=$
$=\sqrt{1625}=5\sqrt{65}\text{ (см)}$
Відповідь:
$25$ см і $5\sqrt{17}$ см або $25$ см і $5\sqrt{65}$ см.