№ 4.41 Геометрія = № 4.41 Математика
(Задача Стенфордського університету.) Точка лежить у внутрішній області рівностороннього трикутника. Відстані від цієї точки до сторін трикутника дорівнюють $a$, $b$ і $c$, а висота трикутника — $h$. Доведіть, що $a+b+c=h$.
Розв’язок:
$K$ — внутрішня точка. Розіб’ємо трикутник на $\bigtriangleup MKN$, $\bigtriangleup NKP$ і $\bigtriangleup MKP$.
$x$ — сторона правильного трикутника.
Площа всього трикутника:
$S_{\bigtriangleup}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot h$
Також площа трикутника дорівнює сумі площ трьох утворених трикутників:
$S_{\bigtriangleup}=S_{\bigtriangleup MKN}+S_{\bigtriangleup NKP}+S_{\bigtriangleup MKP}=$
$=\frac{1}{2}\cdot x\cdot a+\frac{1}{2}\cdot x\cdot b+\frac{1}{2}\cdot x\cdot c=$
$=\frac{1}{2}\cdot x\cdot(a+b+c)$
Отже:
$\frac{1}{2}\cdot x\cdot h=\frac{1}{2}\cdot x\cdot(a+b+c)$
Звідси $a+b+c=h$.
Що й треба було довести.