№ 5.44 Геометрія = № 5.44 Математика
(Київська міська математична олімпіада, 1990 р.) Бісектриси $AA_{1}$ і $BB_{1}$ трикутника $ABC$ перетинаються в точці $O$. Доведіть, що коли кут $C$ дорівнює $60^{\circ}$, то $OA_{1}=OB_{1}$.
Розв’язок:
Розглянемо трикутник $ABC$. Сума його кутів $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$.
Оскільки $\angle C=60^{\circ}$, то $\angle A+\angle B=120^{\circ}$.
Оскільки $AA_{1}$ і $BB_{1}$ — бісектриси, то $\angle OAB=\frac{1}{2}\angle A$ та $\angle OBA=\frac{1}{2}\angle B$.
У трикутнику $AOB$:
$\angle AOB=180^{\circ}-(\angle OAB+\angle OBA)=$
$=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)=$
$=180^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot120^{\circ}=120^{\circ}$.
Розглянемо чотирикутник $A_{1}CB_{1}O$. $\angle A_{1}OB_{1}=\angle AOB=120^{\circ}$ (як вертикальні кути). Тоді $\angle A_{1}CB_{1}+\angle A_{1}OB_{1}=60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ}$, тому навколо чотирикутника $A_{1}CB_{1}O$ можна описати коло.
Точка $O$ — точка перетину бісектрис трикутника $ABC$; отже, $CO$ — бісектриса кута $C$, і $\angle A_{1}CO=\angle B_{1}CO=30^{\circ}$.
У описаному колі вписані кути $\angle A_{1}CO$ і $\angle B_{1}CO$ спираються відповідно на дуги $OA_{1}$ і $OB_{1}$. Оскільки ці кути рівні, рівні й дуги, на які вони спираються: $◡OA_{1}=◡OB_{1}$. Рівним дугам відповідають рівні хорди, тому $OA_{1}=OB_{1}$.
Що й треба було довести.