№ 54 ВПР 1 Геометрія = № 54 ВПТ 1 Математика
З’ясуйте взаємне розташування двох кіл (дотик, перетин чи немає спільних точок):
1) $x^{2}+y^{2}+8x-6y=0$ і $x^{2}+y^{2}-6x+4y-3=0$;
2) $x^{2}+y^{2}+2x-4y+1=0$ і $x^{2}+y^{2}-6x+2y+1=0$.
Розв’язок:
1) $x^{2}+y^{2}+8x-6y=0$;
$(x^{2}+8x+16)+(y^{2}-6y+9)=25$;
$(x+4)^{2}+(y-3)^{2}=25$ — коло; $O_{1}(-4;3)$, $R_{1}=5$.
$x^{2}+y^{2}-6x+4y-3=0$;
$(x^{2}-6x+9)+(y^{2}+4y+4)=16$;
$(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=16$ — коло; $O_{2}(3;-2)$, $R_{2}=4$.
$O_{1}O_{2}=\sqrt{(3-(-4))^{2}+(-2-3)^{2}}=$
$=\sqrt{7^{2}+(-5)^{2}}=$
$=\sqrt{49+25}=\sqrt{74}$.
Оскільки $R_{1}+R_{2}=5+4=9=\sqrt{81}$, то $O_{1}O_{2}<R_{1}+R_{2}$ ($\sqrt{74}<9$).
Також $|R_{1}-R_{2}|=|5-4|=1=\sqrt{1}<\sqrt{74}$.
Кола перетинаються.
2) $x^{2}+y^{2}+2x-4y+1=0$;
$(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=4$ — коло; $O_{1}(-1;2)$, $R_{1}=2$.
$x^{2}+y^{2}-6x+2y+1=0$;
$(x-3)^{2}+(y+1)^{2}=9$ — коло; $O_{2}(3;-1)$, $R_{2}=3$.
$O_{1}O_{2}=\sqrt{(3-(-1))^{2}+(-1-2)^{2}}=$
$=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=$
$=\sqrt{25}=5$.
Оскільки $O_{1}O_{2}=R_{1}+R_{2}$ ($5=2+3$), кола дотикаються зовнішнім дотиком.
Відповідь:
1) Кола перетинаються;
2) Кола дотикаються зовнішнім дотиком.