№ 53 ВПР 1 Геометрія = № 53 ВПТ 1 Математика
Знайдіть геометричне місце точок, сума квадратів відстаней від яких до трьох точок $A(0;0)$, $B(1;1)$ і $C(2;2)$ дорівнює $7$.
Розв’язок:
Нехай $M(x;y)$ — точки шуканої фігури. Тоді $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}=7$.
Використовуючи формулу відстані між точками:
$x^{2}+y^{2}+(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=7$
$3x^{2}+3y^{2}-6x-6y+3=0$
Поділимо обидві частини рівняння на $3$:
$x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0$
Виділимо повні квадрати:
$(x^{2}-2x+1)+(y^{2}-2y+1)-1=0$
$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$
Це рівняння кола з центром $(1;1)$ і радіусом $R=1$.
Оскільки точки $A$, $B$ і $C$ лежать на одній прямій, шуканим геометричним місцем точок є коло.
Відповідь:
Коло з центром $(1;1)$ і радіусом $R=1$.