№ 10.37 Геометрія = № 17.37 Математика
Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{d}$, перпендикулярного до вектора $\overrightarrow{c}(-2;1)$, якщо $|\overrightarrow{d}|=3|\overrightarrow{c}|$.
Розв’язок:
Нехай $\overrightarrow{d}(x;y)$. Оскільки вектори перпендикулярні, їхній скалярний добуток дорівнює $0$:
$\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{c}=-2x+y=0$
Звідси $y=2x$, тому вектор має вигляд $\overrightarrow{d}(x;2x)$.
Знайдемо модулі векторів:
$\left| \overrightarrow{d} \right|=\sqrt{x^{2}+(2x)^{2}}=$
$=\sqrt{5x^{2}}=|x|\sqrt{5}$
$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$
За умовою $|\overrightarrow{d}|=3|\overrightarrow{c}|$:
$|x|\sqrt{5}=3\sqrt{5}$
$|x|=3$
Отже, $x=3$ або $x=-3$.
Якщо $x=3$, то $y=2\cdot3=6$, тобто $\overrightarrow{d}(3;6)$.
Якщо $x=-3$, то $y=2\cdot(-3)=-6$, тобто $\overrightarrow{d}(-3;-6)$.
Відповідь:
$\overrightarrow{d}(3;6)$ або $\overrightarrow{d}(-3;-6)$.