№ 10.38 Геометрія = № 17.38 Математика
Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{c}$, перпендикулярного до вектора $\overrightarrow{d}(1;-5)$, модуль якого дорівнює модулю вектора $\overrightarrow{d}$.
Розв’язок:
Нехай $\overrightarrow{c}(x;y)$. Оскільки вектори перпендикулярні, їх скалярний добуток дорівнює $0$:
$\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}=1\cdot x-5\cdot y=0$
Звідси $x=5y$. Отже, вектор має вигляд $\overrightarrow{c}(5y;y)$.
Знайдемо його модуль:
$\left| \overrightarrow{c} \right|=\sqrt{(5y)^{2}+y^{2}}=$
$=\sqrt{25y^{2}+y^{2}}=$
$=\sqrt{26y^{2}}=|y|\cdot\sqrt{26}$
Знайдемо модуль вектора $\overrightarrow{d}$ (у розв’язку позначено як $|\overrightarrow{a}|$):
$\left| \overrightarrow{d} \right|=\sqrt{1^{2}+(-5)^{2}}=$
$=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$
За умовою задачі $|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{d}|$:
$|y|\cdot\sqrt{26}=\sqrt{26}$
$|y|=1$
Звідси $y=1$ або $y=-1$.
Якщо $y=1$, то $x=5\cdot1=5$, отже $\overrightarrow{c}(5;1)$.
Якщо $y=-1$, то $x=5\cdot(-1)=-5$, отже $\overrightarrow{c}(-5;-1)$.
Відповідь:
$\overrightarrow{c}(5;1)$ або $\overrightarrow{c}(-5;-1)$.