№ 10.45 Геометрія = № 17.45 Математика
Точки $K$ і $L$ — середини сторін $AB$ і $CD$ опуклого чотирикутника $ABCD$, $KL=\frac{AD+BC}{2}$. Доведіть, що $AD \parallel BC$.
Розв’язок:
Продовжимо $BL$ за точку $L$ так, щоб $LN=BL$ (тобто $L$ — середина $BN$). Розглянемо $\bigtriangleup BLC$ і $\bigtriangleup NLD$:
— $BL=LN$ (за побудовою);
— $CL=LD$ (за умовою $L$ — середина $CD$);
— $\angle BLC=\angle NLD$ (вертикальні кути, бо $C$-$L$-$D$ і $B$-$L$-$N$ — прямі, які перетинаються в $L$).
Отже, $\bigtriangleup BLC=\bigtriangleup NLD$ (за двома сторонами і кутом між ними). З рівності трикутників випливає, що $DN=CB$ і $\angle LDN=\angle LCB$.
$K$ — середина $AB$, $L$ — середина $BN$, тому $KL$ — середня лінія $\bigtriangleup ABN$. За властивістю середньої лінії:
$KL=\frac{1}{2}AN,\quad KL \parallel AN.$
Тоді $AN=2KL=AD+BC=AD+DN$.
Для будь-яких трьох точок $A$, $D$, $N$ виконується нерівність $AN\leq AD+DN$, причому рівність можлива лише тоді, коли $D$ належить відрізку $AN$. Отже, точки $A$, $D$, $N$ колінеарні, тобто $N$ лежить на промені $AD$ за точкою $D$.
Тепер кути $\angle LCB$ і $\angle LDN$ — внутрішні різносторонні при прямих $CB$ і $DN$ та січній $CD$. Оскільки вони рівні, $CB \parallel DN$. Пряма $DN$ збігається з прямою $AD$ (за щойно доведеним), тому $BC \parallel AD$.
Що й треба було довести.