№ 6.31 Геометрія = № 13.31 Математика
Якого найменшого значення може набувати вираз $\sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}+\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}$? За яких значень $x$ і $y$ досягається це значення?
Розв’язок:
Розглянемо вираз:
$\sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}+\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}$
$\sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}$ — відстань від точки $M(x;y)$ до точки $O_{1}(0;3)$.
$\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}$ — відстань від точки $M(x;y)$ до точки $O_{2}(4;0)$.
Найменшого значення сума відстаней набуває, коли точка $M$ лежить на відрізку $O_{1}O_{2}$. Тоді це значення дорівнює довжині відрізка $O_{1}O_{2}$:
$O_{1}O_{2}=\sqrt{(4-0)^{2}+(0-3)^{2}}=$
$=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
Отже, найменше значення виразу дорівнює $5$.
Точка $M(x;y)$ належить відрізку $O_{1}O_{2}$. Рівняння прямої, що містить $O_{1}O_{2}$:
$\frac{x-0}{4-0}=\frac{y-3}{0-3}$
$-3x=4(y-3)$
$-3x=4y-12$
$4y=-3x+12$
$y=-\frac{3}{4}x+3,\text{ де }x \in \lbrack 0;4\rbrack$
Значення досягається для будь-якої точки $(x;y)$, координати якої задовольняють рівняння $y=-\frac{3}{4}x+3$ при $x \in \lbrack 0;4\rbrack$.
Відповідь:
$5$; значення досягається при $y=-\frac{3}{4}x+3$, де $x \in \lbrack 0;4\rbrack$.