№ 7.34 Геометрія = № 14.34 Математика
Центр кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, ділить висоту, проведену до основи, у відношенні $5\ :3$. Знайдіть периметр трикутника, якщо його бічна сторона на $3$ см менша від основи.
Розв’язок:
Нехай $\bigtriangleup ABC$ — даний рівнобедрений трикутник, $BM \perp AC$, $O$ — центр вписаного кола, $O \in BM$, $BO\ :OM=5\ :3$.
Проведемо $OK \perp BC$. $OM=OK=r$.
$\bigtriangleup BOK \sim \bigtriangleup BCM$ (прямокутні, $\angle B$ — спільний).
Тоді $\frac{BO}{BC}=\frac{OK}{MC}$, або $\frac{BO}{OK}=\frac{BC}{MC}$.
Оскільки $OK=OM$, то $\frac{BO}{OM}=\frac{BC}{MC}=\frac{5}{3}$.
Нехай $AC=x$, тоді $MC=\frac{1}{2}x$, а $BC=x-3$.
Оскільки $\frac{BC}{MC}=\frac{x-3}{0{,}5x}=\frac{5}{3}$, маємо:
$3(x-3)=5\cdot0{,}5x$
$3x-9=2{,}5x$
$0{,}5x=9$
$x=18$
Отже, $AC=18$ (см), $AB=BC=18-3=15$ (см).
Периметр $P=18+15+15=48$ (см).
Відповідь:
$48$ см.