№ 8.21 Геометрія = № 15.21 Математика
Дано вектори $\overrightarrow{p}(4;-3)$, $\overrightarrow{m}(9;y)$, $\overrightarrow{n}(-2;5)$. За якого значення $y$ модуль вектора $\overrightarrow{p}+\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$ буде найменшим?
Розв’язок:
Знайдемо координати вектора $\overrightarrow{p}+\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$:
$\overrightarrow{p}+\overrightarrow{m}=(4+9;-3+y)=$
$=(13;-3+y)$
$\overrightarrow{p}+\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}=$
$=\left( 13-(-2);-3+y-5 \right)=$
$=(15;y-8)$
Модуль цього вектора:
$\left| \overrightarrow{p}+\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n} \right|=$
$=\sqrt{15^{2}+(y-8)^{2}}=$
$=\sqrt{225+(y-8)^{2}}$
Вираз $\sqrt{225+(y-8)^{2}}$ набуває найменшого значення, коли підкореневий вираз є найменшим. Оскільки $(y-8)^{2}\geq0$, то найменше значення виразу досягається при $(y-8)^{2}=0$, тобто $y-8=0$, звідки $y=8$.
Відповідь:
$8$.