№ 8.26 Геометрія = № 15.26 Математика
(Національна олімпіада Швеції, 1982 р.) Доведіть, що коли для деякої точки $O$, яка лежить у внутрішній області чотирикутника $ABCD$, площі трикутників $ABO$, $BCO$, $CDO$ і $DAO$ рівні між собою, то ця точка належить хоча б одній з діагоналей $AC$ або $BD$.
Розв’язок:
Нехай $S_{ABO}=S_{BCO}=S_{CDO}=S_{DAO}$. Позначимо $M$ — середину $AC$.
Крок 1. Трикутники $ABO$ і $CBO$ мають спільну сторону $BO$, тому відношення їхніх площ дорівнює відношенню висот, опущених з $A$ і з $C$ на пряму $BO$. Оскільки $S_{ABO}=S_{CBO}$, ці висоти рівні. Точка $O$ лежить усередині чотирикутника, тому вершини $A$ і $C$ — по різні боки від прямої $BO$. Звідси середина $AC$, тобто точка $M$, лежить на прямій $BO$.
Крок 2. Аналогічно, з рівності $S_{ADO}=S_{CDO}$ і того, що $A$, $C$ — по різні боки від прямої $DO$, отримуємо: точка $M$ лежить і на прямій $DO$.
Крок 3. Маємо два випадки.
- Якщо $O=M$, то $O$ — середина $AC$, тобто $O \in AC$.
- Якщо $O\neq M$, то через $O$ і $M$ проходить лише одна пряма. На ній лежать обидві точки $B$ і $D$, отже, $B$, $O$, $D$ колінеарні, тобто $O \in BD$.
В обох випадках $O$ належить хоча б одній з діагоналей $AC$ або $BD$.
Що й треба було довести.