№ 8.25 Геометрія = № 15.25 Математика
Брус, поперечним перерізом якого є прямокутник, має найбільшу міцність тоді, коли перпендикуляри, проведені з протилежних вершин цього прямокутника до його діагоналі, ділять її на три рівні частини. Визначте з точністю до десятих сантиметрів, яких максимальних розмірів можна випиляти брус із колоди циліндричної форми діаметром $36$ см.
Розв’язок:
Прямокутник $ABCD$ вписаний у коло діаметром $36$ см, тому діагональ $AC=36$ см. Перпендикуляри $BE$ (з $B$) і $DF$ (з $D$) до $AC$ ділять її на три рівні частини: $AE=EF=FC=12$ см. Тоді $EC=EF+FC=24$ (см).
У прямокутному трикутнику $ABC$ ($\angle B=90^{\circ}$) $BE$ — висота, опущена з прямого кута на гіпотенузу. За метричними співвідношеннями:
$AB^{2}=AE\cdot AC=12\cdot36=432$;
$AB=\sqrt{432}=12\sqrt{3}\approx20{,}78$ (см).
$BC^{2}=EC\cdot AC=24\cdot36=864$;
$BC=\sqrt{864}=12\sqrt{6}\approx29{,}39$ (см).
Перевірка: $AB^{2}+BC^{2}=432+864=$
$=1296=36^{2}$ — справді гіпотенуза.
Оскільки брус треба фізично випиляти з колоди, округлюємо розміри вниз, щоб діагональ прямокутника не перевищила діаметр кола: $AB\approx20{,}7$ см, $BC\approx29{,}3$ см ($20{,}7^{2}+29{,}3^{2}=1286{,}98<1296$).
Відповідь:
$20{,}7$ см $\times$ $29{,}3$ см.