№ 9.35 Геометрія = № 16.35 Математика
Хорда $AB$ ділить коло у відношенні $2\ :3$. У точці $A$ до кола проведено дотичну. Знайдіть менший кут між дотичною і хордою.
Розв’язок:
$AB$ — хорда; $AK$ — дотична; $OA \perp AK$.
Дуга $AB$ : дуга $A_{n}B=2\ :3$.
Сума частин: $2+3=5$.
Градусна міра дуги $AB$:
$\text{◡}AB=\frac{360^{\circ}}{5}\cdot2=144^{\circ}$
Градусна міра дуги $A_{n}B$:
$\text{◡}A_{n}B=\frac{360^{\circ}}{5}\cdot3=216^{\circ}$
Центральний кут $AOB$ спирається на дугу $AB$, тому $\angle AOB=144^{\circ}$.
$\bigtriangleup AOB$ — рівнобедрений ($OA=OB$ — радіуси), тому $\angle OAB=\frac{180^{\circ}-144^{\circ}}{2}=18^{\circ}$.
Радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної: $\angle OAK=90^{\circ}$.
Кут між дотичною і хордою, з того боку, де лежить менша дуга $AB$:
$90^{\circ}-18^{\circ}=72^{\circ}$, а суміжний з ним кут дорівнює $180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}$.
Менший кут дорівнює $72^{\circ}$.
Відповідь:
$72^{\circ}$.