№ 9.37 Геометрія = № 16.37 Математика
До катетів прямокутного трикутника провели медіани $3$ см і $4$ см завдовжки. Знайдіть гіпотенузу трикутника.
Розв’язок:
Нехай $BC=a$; $AC=b$; $BM=4$ см; $AK=3$ см. Тоді з $\bigtriangleup BCM$:
$a^{2}+\left( \frac{1}{2}b \right)^{2}=4^{2}$
а з $\bigtriangleup ACK$:
$\left( \frac{1}{2}a \right)^{2}+b^{2}=3^{2}$
Маємо систему рівнянь:
$\begin{cases} a^{2}+\frac{b^{2}}{4}=16, \\ \frac{a^{2}}{4}+b^{2}=9; \end{cases}$
$\begin{cases} a^{2}+\frac{b^{2}}{4}=16, \\-a^{2}-4b^{2}=-36; \end{cases}$
$\begin{cases} a^{2}=16-\frac{b^{2}}{4}, \\-\frac{15b^{2}}{4}=-20; \end{cases}$
$\begin{cases} a^{2}=\frac{220}{15}, \\ b^{2}=\frac{80}{15}. \end{cases}$
$AB^{2}=a^{2}+b^{2}=$
$=\frac{220}{15}+\frac{80}{15}=\frac{300}{15}=20$
$AB=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ (см) — гіпотенуза $\bigtriangleup ABC$