№ 13 ДСР 2 Геометрія = № 13 ДСР 3 Математика
Дано вектори $\overrightarrow{a}(5;-4)$, $\overrightarrow{b}(2;-14)$, $\overrightarrow{c}(x;-8)$. Установіть відповідність між характеристиками векторів, або результатами дій над ними (1–3), та їхніми числовими значеннями (А–Г).
| Характеристики векторів або результати дій над ними |
Числове значення |
|---|---|
| 1. Модуль вектора $\overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$ | А. $5$ |
| 2. $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{m}$ | Б. $6$ |
| 3. Значення $x$, за якого $\overrightarrow{m} \perp \overrightarrow{c}$ | В. $7$ |
| Г. $8$ |
Розв’язок:
Знайдемо координати вектора $\overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$:
$\overrightarrow{m}=\left( 5-\frac{1}{2}\cdot2;-4-\frac{1}{2}\cdot(-14) \right)=$
$=(5-1;-4+7)=(4;3)$.
1) Модуль вектора $\overrightarrow{m}$:
$\left| \overrightarrow{m} \right|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=$
$=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$.
Відповідність: 1 — А.
2) Скалярний добуток $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{m}$:
$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{m}=5\cdot4+(-4)\cdot3=$
$=20-12=8$.
Відповідність: 2 — Г.
3) Умова перпендикулярності $\overrightarrow{m} \perp \overrightarrow{c}$ означає, що їхній скалярний добуток дорівнює $0$:
$\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{c}=4\cdot x+3\cdot(-8)=0$
$4x-24=0$
$4x=24$
$x=6$.
Відповідність: 3 — Б.
Відповідь:
1 — А, 2 — Г, 3 — Б.