№ 10 ВПР 2 Геометрія = № 10 ВПТ 3 Математика
$ABCD$ — ромб, $|\overrightarrow{AC}|=12$, $|\overrightarrow{BD}|=16$. Від вершини $A$ відкладено вектор $\overrightarrow{AE}$ так, що $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}$. Знайдіть $|\overrightarrow{EC}|$.
Розв’язок:
Діагоналі ромба перпендикулярні і точкою перетину діляться навпіл.
Отже, $AO=\frac{1}{2}AC=6$, $BO=\frac{1}{2}BD=8$.
У прямокутному трикутнику $AOB$:
$AB=\sqrt{AO^{2}+BO^{2}}=$
$=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=$
$=\sqrt{100}=10$.
За умовою $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}$, отже $ABDE$ — паралелограм.
Звідси $ED=AB=10$.
Оскільки $ABCD$ — ромб, то $DC=AB=10$.
Вектори $\overrightarrow{ED}$ і $\overrightarrow{DC}$ дорівнюють вектору $\overrightarrow{AB}$, тобто $\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{DC}$. Тому точки $E$, $D$, $C$ лежать на одній прямій, $D$ — між $E$ і $C$, і
$EC=ED+DC=10+10=20$.
Відповідь:
$20$.