№ 20 ВПР 2 Геометрія = № 20 ВПТ 3 Математика
Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник з вершинами $A(5;7)$, $B(6;4)$, $C(3;3)$, $D(2;6)$ — квадрат.
Розв’язок:
Знайдемо координати векторів $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{DC}$:
$\overrightarrow{AB}=(6-5;4-7)=(1;-3)$
$\overrightarrow{DC}=(3-2;3-6)=(1;-3)$
Оскільки $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, то $ABCD$ — паралелограм.
Знайдемо координати вектора $\overrightarrow{BC}$:
$\overrightarrow{BC}=(3-6;3-4)=(-3;-1)$
Перевіримо, чи є кут $B$ прямим, обчисливши скалярний добуток векторів $\overrightarrow{BA}$ та $\overrightarrow{BC}$:
$\overrightarrow{BA}=(-1;3)$
$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-1)\cdot(-3)+3\cdot(-1)=$
$=3-3=0$
Оскільки скалярний добуток дорівнює $0$, то $\overrightarrow{BA} \perp \overrightarrow{BC}$, отже $\angle B=90^{\circ}$.
Знайдемо довжини сторін $AB$ та $BC$:
$\left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}}=$
$=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$
$\left| \overrightarrow{BC} \right|=\sqrt{(-3)^{2}+(-1)^{2}}=$
$=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$
Оскільки паралелограм має прямий кут і рівні сусідні сторони, то $ABCD$ — квадрат.
Що й треба було довести.