№ 54 ВПР 2 Геометрія = № 54 ВПТ 3 Математика
Знайдіть косинус кута між векторами $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$ і $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{q}-2\overrightarrow{p}$, якщо $|\overrightarrow{p}|=|\overrightarrow{q}|=1$ і $\overrightarrow{p} \perp \overrightarrow{q}$.
Розв’язок:
$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=(2\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q})(\overrightarrow{q}-2\overrightarrow{p})={\overrightarrow{q}}^{2}-4{\overrightarrow{p}}^{2}=$
$=1-4\cdot1=-3$
$|\overrightarrow{a}|^{2}=(2\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q})^{2}=4{\overrightarrow{p}}^{2}+4\overrightarrow{p}\overrightarrow{q}+{\overrightarrow{q}}^{2}=$
$=4\cdot1+0+1=5$, отже $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{5}$
$|\overrightarrow{b}|^{2}=(\overrightarrow{q}-2\overrightarrow{p})^{2}={\overrightarrow{q}}^{2}-4\overrightarrow{p}\overrightarrow{q}+4{\overrightarrow{p}}^{2}=$
$=1-0+4\cdot1=5$, отже $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$
$cos\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}=\frac{-3}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=-\frac{3}{5}$
Відповідь:
$-\frac{3}{5}$