№ 53 ВПР 2 Геометрія = № 53 ВПТ 3 Математика
Знайдіть косинус кута між векторами $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$, якщо $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$ і $(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})(4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})=5$.
Розв’язок:
$(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})(4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})=5$
$4{\overrightarrow{a}}^{2}+3\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+8\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+6{\overrightarrow{b}}^{2}=5$
$4{\overrightarrow{a}}^{2}+11\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+6{\overrightarrow{b}}^{2}=5$
Оскільки ${\overrightarrow{a}}^{2}=|\overrightarrow{a}|^{2}=1$ та ${\overrightarrow{b}}^{2}=|\overrightarrow{b}|^{2}=1$, а $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\cos\angle(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=\cos\angle(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})$:
$4\cdot1+11cos\angle(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})+6\cdot1=5$
$10+11cos\angle(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=5$
$11cos\angle(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=-5$
$cos\angle(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=-\frac{5}{11}$