№ 11 ЗПЗ 2 Геометрія = № 11 ЗПЗ 3 Математика
Відомо, що $|\overrightarrow{a}|=6$, $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}$, $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=30^{\circ}$. Знайдіть $|4\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|$.
Розв’язок:
Використаємо властивість модуля вектора $|\overrightarrow{x}|^{2}={\overrightarrow{x}}^{2}$:
$|4\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|^{2}=(4\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})^{2}=$
$=16{\overrightarrow{a}}^{2}-24(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})+9{\overrightarrow{b}}^{2}$
Обчислимо скалярний добуток $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$:
$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=6\cdot\sqrt{3}\cdot\cos 30^{\circ}=$
$=6\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\cdot3=9$
Підставимо значення у вираз:
$|4\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|^{2}=$
$=16\cdot6^{2}-24\cdot9+9\cdot(\sqrt{3})^{2}=$
$=16\cdot36-216+9\cdot3=$
$=576-216+27=387$
$\left| 4\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b} \right|=\sqrt{387}=$
$=\sqrt{9\cdot43}=3\sqrt{43}$
Відповідь:
$3\sqrt{43}$.