№ 12.34 Геометрія = № 23.34 Математика
Знайдіть площу ромба, сторона якого дорівнює $a$, а одна з діагоналей — $d$.
Розв’язок:
Діагоналі ромба перпендикулярні та точкою перетину діляться навпіл.
Нехай діагональ $AC=d$, тоді $AO=\frac{d}{2}$.
$\bigtriangleup AOD$ — прямокутний ($\angle AOD=90^{\circ}$), де $AD=a$ (сторона ромба).
За теоремою Піфагора:
$OD^{2}=AD^{2}-AO^{2}=$
$=a^{2}-\left( \frac{d}{2} \right)^{2}=a^{2}-\frac{d^{2}}{4}$
$OD=\sqrt{a^{2}-\frac{d^{2}}{4}}=$
$=\sqrt{\frac{4a^{2}-d^{2}}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{4a^{2}-d^{2}}$
Оскільки $BD=2OD$, то:
$BD=2\cdot\frac{1}{2}\sqrt{4a^{2}-d^{2}}=$
$=\sqrt{4a^{2}-d^{2}}$
Площа ромба $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD$:
$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot d\cdot\sqrt{4a^{2}-d^{2}}$
Відповідь:
$\frac{d}{2}\sqrt{4a^{2}-d^{2}}$