№ 12.35 Геометрія = № 23.35 Математика
Катети прямокутного трикутника дорівнюють $a$ см і $b$ см. Знайдіть відношення площ, на які ділить трикутник висота, проведена до гіпотенузи.
Розв’язок:
У $\bigtriangleup ABC$: $AC=a$; $CB=b$; $\angle C=90^{\circ}$; $CK \perp AB$.
Нехай $\angle A=\alpha$, тоді $\angle B=90^{\circ}-\alpha$.
$\bigtriangleup CBK$ — прямокутний:
$BK=CB\cdot cos(90^{\circ}-\alpha)=b\sin\alpha$
$CK=CB\cdot sin(90^{\circ}-\alpha)=b\cos\alpha$
$S_{\bigtriangleup CBK}=\frac{1}{2}\cdot BK\cdot CK=$
$=\frac{1}{2}\cdot b\sin\alpha\cdot b\cos\alpha=$
$=\frac{1}{2}b^{2}\sin\alpha\cos\alpha$
$\bigtriangleup ACK$ — прямокутний:
$CK=AC\cdot sin\alpha=a\sin\alpha$
$AK=AC\cdot cos\alpha=a\cos\alpha$
$S_{\bigtriangleup ACK}=\frac{1}{2}\cdot AK\cdot CK=$
$=\frac{1}{2}\cdot a\cos\alpha\cdot a\sin\alpha=$
$=\frac{1}{2}a^{2}\sin\alpha\cos\alpha$
Знайдемо відношення площ (у порядку: трикутник, прилеглий до катета $a$, до трикутника, прилеглого до катета $b$):
$\frac{S_{\bigtriangleup ACK}}{S_{\bigtriangleup CBK}}=\frac{\frac{1}{2}\, a^{2}\sin\alpha\cos\alpha}{\frac{1}{2}\, b^{2}\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{a^{2}}{b^{2}}$
Відповідь:
$a^{2}\ :b^{2}$.