№ 12.39 Геометрія = № 23.39 Математика
(Всеукраїнська математична олімпіада, 1965 р.) Із деякої точки кола, описаного навколо прямокутника, проведено перпендикуляри до його діагоналей. Доведіть, що відстань між основами цих перпендикулярів не залежить від положення точки на колі.
Розв’язок:
Дано:
$ABCD$ — прямокутник;
Коло $(O;\ R)$ — описане навколо прямокутника $ABCD$, де $O$ — точка перетину діагоналей $AC$ і $BD$, а $R$ — радіус кола $(R = OA = OB = OC = OD)$;
$N$ — довільна точка кола;
$NM\ \bot BD$, де $M\ \in BD$;
$NL\ \bot AC$, де $L\ \in AC$.
Довести:
Довжина відрізка $ML$ є сталою величиною і не залежить від положення точки $N$ на колі $\left( ML=\text{const} \right)$.
Доведення:
1. Розглянемо чотирикутник $NMOL$. За умовою, $NM\ \bot BD$ та $NL\ \bot AC$, тому $\angle NMO=90^{\circ}$ та $\angle NLO=90^{\circ}$.
2. Знайдемо суму протилежних кутів цього чотирикутника:
$\angle NMO+\angle NLO=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$
Оскільки сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює $180^{\circ}$, навколо чотирикутника $NMOL$ можна описати коло.
3. Оскільки трикутник $\bigtriangleup NMO$ є прямокутним $\left( \angle NMO=90^{\circ} \right)$, то відрізок $NO$ є його гіпотенузою, а отже — діаметром описаного навколо чотирикутника $NMOL$ кола.
4. Розглянемо трикутник $\bigtriangleup MOL$. Він є вписаним у це саме нове коло. Відрізок $ML$ є хордою цього кола, а кут $\angle MOL$ — вписаним кутом, що спирається на цю хорду (або доповнює його до $180^{\circ}$).
5. За наслідком з теореми синусів (лемою про відношення хорди до синуса кута), відношення хорди до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола:
$\frac{ML}{\sin(\angle MOL)}=NO$
Звідси:
$ML=NO\cdot\sin(\angle MOL)$
6. Оцінимо елементи отриманої формули для заданого прямокутника:
Відрізок $NO$ сполучає центр кола O з точкою N на колі, тобто є радіусом початкового кола: $NO=R=\text{const}$.
Кут $\angle MOL$ — це кут між діагоналями прямокутника $ABCD$, який є фіксованим для конкретного прямокутника, тому $\sin(\angle MOL)=\text{const}$.
7. Оскільки $ML=R\cdot\sin(\angle MOL)$, де $R$ та $\angle MOL$ є сталими величинами, значення $ML$ не змінюється і не залежить від переміщення точки $N$ по колу.
Що й треба було довести.