№ 13.1 Геометрія = № 24.1 Математика
Розв’яжіть $\bigtriangleup ABC$ за двома сторонами і кутом між ними:
1) $AB=7$ см, $AC=5$ см, $\angle A=60^{\circ}$;
2) $AC=8$ см, $BC=9$ см, $\angle C=46^{\circ}$;
3) $BC=10$ см, $AB=6$ см, $\angle B=117^{\circ}$;
4) $AB=3$ см, $AC=8$ см, $\angle A=129^{\circ}$.
Розв’язок:
1) За теоремою косинусів:
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\angle A=7^{2}+5^{2}-2\cdot7\cdot5\cdot\cos 60^{\circ}=39$;
$BC\approx6{,}24$ (см).
$\cos\angle B=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2\cdot AB\cdot BC}\approx\frac{7^{2}+6{,}24^{2}-5^{2}}{2\cdot7\cdot6{,}24}\approx0{,}7204$;
$\angle B\approx43^{\circ}55'$;
$\angle C\approx180^{\circ}-(60^{\circ}+43^{\circ}55')=76^{\circ}05'$.
2) За теоремою косинусів:
$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos\angle C=8^{2}+9^{2}-2\cdot8\cdot9\cdot\cos 46^{\circ}\approx44{,}97$;
$AB\approx6{,}71$ (см).
$\cos\angle B=\frac{BC^{2}+AB^{2}-AC^{2}}{2\cdot BC\cdot AB}\approx\frac{9^{2}+6{,}71^{2}-8^{2}}{2\cdot9\cdot6{,}71}\approx0{,}5135$;
$\angle B\approx59^{\circ}06'$;
$\angle A\approx180^{\circ}-(46^{\circ}+59^{\circ}06')=74^{\circ}54'$.
3) За теоремою косинусів:
$AC^{2}=BC^{2}+AB^{2}-2\cdot BC\cdot AB\cdot\cos\angle B=10^{2}+6^{2}-2\cdot10\cdot6\cdot\cos 117^{\circ}\approx190{,}48$;
$AC\approx13{,}80$ (см).
$\cos\angle C=\frac{BC^{2}+AC^{2}-AB^{2}}{2\cdot BC\cdot AC}\approx\frac{10^{2}+13{,}80^{2}-6^{2}}{2\cdot10\cdot13{,}80}\approx0{,}9219$;
$\angle C\approx22^{\circ}48'$;
$\angle A\approx180^{\circ}-(117^{\circ}+22^{\circ}48')=40^{\circ}12'$.
4) За теоремою косинусів:
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\angle A=3^{2}+8^{2}-2\cdot3\cdot8\cdot\cos 129^{\circ}\approx103{,}21$;
$BC\approx10{,}16$ (см).
$\cos\angle C=\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2\cdot AC\cdot BC}\approx\frac{8^{2}+10{,}16^{2}-3^{2}}{2\cdot8\cdot10{,}16}\approx0{,}9733$;
$\angle C\approx13^{\circ}16'$;
$\angle B\approx180^{\circ}-(129^{\circ}+13^{\circ}16')=37^{\circ}44'$.
Відповідь:
1) $BC\approx6{,}24$ см, $\angle B\approx43^{\circ}55'$, $\angle C\approx76^{\circ}05'$;
2) $AB\approx6{,}71$ см, $\angle B\approx59^{\circ}06'$, $\angle A\approx74^{\circ}54'$;
3) $AC\approx13{,}80$ см, $\angle C\approx22^{\circ}48'$, $\angle A\approx40^{\circ}12'$;
4) $BC\approx10{,}16$ см, $\angle C\approx13^{\circ}16'$, $\angle B\approx37^{\circ}44'$.