№ 13.1 Геометрія = № 24.1 Математика
Розв’яжіть $\bigtriangleup ABC$ за двома сторонами і кутом між ними:
1) $AB=7$ см, $AC=5$ см, $\angle A=60^{\circ}$;
2) $AC=8$ см, $BC=9$ см, $\angle C=46^{\circ}$;
3) $BC=10$ см, $AB=6$ см, $\angle B=117^{\circ}$;
4) $AB=3$ см, $AC=8$ см, $\angle A=129^{\circ}$.
Розв’язок:
1) $AB=7$ см, $AC=5$ см, $\angle A=60^{\circ}$.
За теоремою косинусів:
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cdot cos\angle A=$
$=7^{2}+5^{2}-2\cdot7\cdot5\cdot cos60^{\circ}=$
$=49+25-35=39$
$BC=\sqrt{39}\approx6{,}3$ (см).
За теоремою синусів:
$\frac{BC}{sin\angle A}=\frac{AC}{sin\angle B}$
$\sin\angle B=\frac{AC\cdot sin\angle A}{BC}=$
$=\frac{5\cdot0{,}866}{6{,}3}\approx0{,}6873$
$\angle B\approx43^{\circ}$.
$\angle C=180^{\circ}-(\angle A+\angle B)=$
$=180^{\circ}-(60^{\circ}+43^{\circ})=77^{\circ}$.
2) $AC=8$ см, $CB=9$ см, $\angle C=46^{\circ}$.
$AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}-2BC\cdot AC\cdot cos\angle C=$
$=9^{2}+8^{2}-2\cdot9\cdot8\cdot cos46^{\circ}=$
$=81+64-144\cdot0{,}69\approx$
$\approx145-99{,}36\approx45{,}64$
$AB=\sqrt{45{,}64}\approx6{,}75\approx6{,}8$ (см).
$\sin\angle B=\frac{AC\cdot sin\angle C}{AB}=$
$=\frac{8\cdot sin46^{\circ}}{6{,}8}\approx$
$\approx\frac{8\cdot0{,}7193}{6{,}8}\approx0{,}8462$
$\angle B\approx58^{\circ}$.
$\angle A=180^{\circ}-(\angle C+\angle B)=$
$=180^{\circ}-(46^{\circ}+58^{\circ})=76^{\circ}$.
3) $BC=10$ см, $AB=6$ см, $\angle B=117^{\circ}$.
$AC^{2}=BC^{2}+AB^{2}-2BC\cdot AB\cdot cos\angle B=$
$=10^{2}+6^{2}-2\cdot10\cdot6\cdot cos117^{\circ}=$
$=100+36-120\cdot(-0{,}454)=$
$=136+54{,}48=190{,}48$
$AC=\sqrt{190{,}48}\approx13{,}8$ (см).
$\sin\angle C=\frac{AB\cdot sin\angle B}{AC}=$
$=\frac{6\cdot sin117^{\circ}}{13{,}8}\approx$
$\approx\frac{6\cdot0{,}891}{13{,}8}\approx0{,}3874$
$\angle C\approx23^{\circ}$.
$\angle A=180^{\circ}-(\angle B+\angle C)=$
$=180^{\circ}-(117^{\circ}+23^{\circ})=40^{\circ}$.
4) $AB=3$ см, $AC=8$ см, $\angle A=129^{\circ}$.
За теоремою косинусів:
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cdot cos\angle A=$
$=3^{2}+8^{2}-2\cdot3\cdot8\cdot cos129^{\circ}=$
$=9+64-48\cdot(-0{,}6293)=$
$=73+30{,}2=103{,}2$
$BC=\sqrt{103{,}2}\approx10{,}2$ (см).
За теоремою синусів:
$\sin\angle B=\frac{AC\cdot sin\angle A}{BC}=$
$=\frac{8\cdot sin129^{\circ}}{10{,}2}\approx$
$\approx\frac{8\cdot0{,}7771}{10{,}2}\approx0{,}6095$
$\angle B\approx38^{\circ}$.
$\angle C=180^{\circ}-(\angle A+\angle B)=$
$=180^{\circ}-(129^{\circ}+38^{\circ})=13^{\circ}$.