№ 13.2 Геометрія = № 24.2 Математика
Розв’яжіть $\bigtriangleup ABC$ за двома сторонами і кутом між ними:
1) $AC=5$ см, $BC=7$ см, $\angle C=42^{\circ}$;
2) $BC=8$ см, $AB=9$ см, $\angle B=62^{\circ}$;
3) $AB=9$ см, $AC=5$ см, $\angle A=120^{\circ}$;
4) $AC=8$ см, $BC=4$ см, $\angle C=147^{\circ}$.
Розв’язок:
1) За теоремою косинусів:
$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos\angle C=5^{2}+7^{2}-2\cdot5\cdot7\cdot\cos 42^{\circ}\approx21{,}98$;
$AB\approx4{,}69$ (см).
$\cos\angle B=\frac{BC^{2}+AB^{2}-AC^{2}}{2\cdot BC\cdot AB}\approx\frac{7^{2}+4{,}69^{2}-5^{2}}{2\cdot7\cdot4{,}69}\approx0{,}7005$;
$\angle B\approx45^{\circ}32'$;
$\angle A\approx180^{\circ}-(42^{\circ}+45^{\circ}32')=92^{\circ}28'$.
2) За теоремою косинусів:
$AC^{2}=BC^{2}+AB^{2}-2\cdot BC\cdot AB\cdot\cos\angle B=8^{2}+9^{2}-2\cdot8\cdot9\cdot\cos 62^{\circ}\approx77{,}40$;
$AC\approx8{,}80$ (см).
$\cos\angle A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\cdot AB\cdot AC}\approx\frac{9^{2}+8{,}80^{2}-8^{2}}{2\cdot9\cdot8{,}80}\approx0{,}5962$;
$\angle A\approx53^{\circ}24'$;
$\angle C\approx180^{\circ}-(62^{\circ}+53^{\circ}24')=64^{\circ}36'$.
3) За теоремою косинусів:
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\angle A=9^{2}+5^{2}-2\cdot9\cdot5\cdot\cos 120^{\circ}=151$;
$BC\approx12{,}29$ (см).
$\cos\angle B=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2\cdot AB\cdot BC}\approx\frac{9^{2}+12{,}29^{2}-5^{2}}{2\cdot9\cdot12{,}29}\approx0{,}9359$;
$\angle B\approx20^{\circ}38'$;
$\angle C\approx180^{\circ}-(120^{\circ}+20^{\circ}38')=39^{\circ}22'$.
4) За теоремою косинусів:
$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos\angle C=8^{2}+4^{2}-2\cdot8\cdot4\cdot\cos 147^{\circ}\approx133{,}67$;
$AB\approx11{,}56$ (см).
$\cos\angle A=\frac{AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}}{2\cdot AC\cdot AB}\approx\frac{8^{2}+11{,}56^{2}-4^{2}}{2\cdot8\cdot11{,}56}\approx0{,}9820$;
$\angle A\approx10^{\circ}53'$;
$\angle B\approx180^{\circ}-(147^{\circ}+10^{\circ}53')=22^{\circ}07'$.
Відповідь:
1) $AB\approx4{,}69$ см, $\angle B\approx45^{\circ}32'$, $\angle A\approx92^{\circ}28'$;
2) $AC\approx8{,}80$ см, $\angle A\approx53^{\circ}24'$, $\angle C\approx64^{\circ}36'$;
3) $BC\approx12{,}29$ см, $\angle B\approx20^{\circ}38'$, $\angle C\approx39^{\circ}22'$;
4) $AB\approx11{,}56$ см, $\angle A\approx10^{\circ}53'$, $\angle B\approx22^{\circ}07'$.