№ 13.2 Геометрія = № 24.2 Математика
Розв’яжіть $\bigtriangleup ABC$ за двома сторонами і кутом між ними:
1) $AC=5$ см, $BC=7$ см, $\angle C=42^{\circ}$;
2) $BC=8$ см, $AB=9$ см, $\angle B=62^{\circ}$;
3) $AB=9$ см, $AC=5$ см, $\angle A=120^{\circ}$;
4) $AC=8$ см, $BC=4$ см, $\angle C=147^{\circ}$.
Розв’язок:
1) $AC=5$ см; $BC=7$ см; $\angle C=42^{\circ}$.
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\cdot cos\angle C}=$
$=\sqrt{5^{2}+7^{2}-2\cdot5\cdot7\cdot cos42^{\circ}}=$
$=\sqrt{25+49-70\cdot0{,}7431}=$
$=\sqrt{74-52{,}017}=\sqrt{21{,}98}\approx4{,}7$ (см).
За теоремою синусів:
$\frac{AC}{\sin\angle B}=\frac{AB}{\sin\angle C}$, звідси
$\sin\angle B=\frac{AC\cdot\sin\angle C}{AB}=$
$=\frac{5\cdot0{,}6691}{4{,}7}\approx0{,}7118$;
$\angle B\approx45^{\circ}$;
$\angle A=180^{\circ}-(\angle B+\angle C)=$
$=180^{\circ}-(45^{\circ}+42^{\circ})=93^{\circ}$.
2) $AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cdot\cos\angle B}=$
$=\sqrt{9^{2}+8^{2}-2\cdot9\cdot8\cdot cos62^{\circ}}=$
$=\sqrt{81+64-2\cdot72\cdot0{,}4695}=$
$=\sqrt{77{,}39}\approx8{,}8$ (см).
За теоремою синусів:
$\frac{AB}{\sin\angle C}=\frac{AC}{\sin\angle B}$, звідси
$sin\angle C=\frac{AB\cdot sin\angle B}{AC}=\frac{9\cdot sin62^{\circ}}{8{,}8}=$
$=\frac{9\cdot0{,}8829}{8{,}8}\approx0{,}9029$;
$\angle C\approx65^{\circ}$;
$\angle A=180^{\circ}-(\angle B+\angle C)=$
$=180^{\circ}-(62^{\circ}+65^{\circ})=53^{\circ}$.
3) $AB=9$ см; $AC=5$ см; $\angle A=120^{\circ}$.
$BC=\sqrt{9^{2}+5^{2}-2\cdot9\cdot5\cdot cos120^{\circ}}=$
$=\sqrt{81+25-90\cdot\left(-\frac{1}{2} \right)}=$
$=\sqrt{106+45}=\sqrt{151}\approx12{,}3$ (см).
За теоремою синусів:
$\frac{BC}{\sin\angle A}=\frac{AB}{\sin\angle C}$, звідси
$sin\angle C=\frac{AB\cdot sin\angle A}{BC}=\frac{9\cdot sin120^{\circ}}{12{,}3}=$
$=\frac{9\cdot0{,}866}{12{,}3}\approx0{,}6367$;
$\angle C\approx39^{\circ}$;
$\angle B=180^{\circ}-(\angle A+\angle C)=$
$=180^{\circ}-\left( 120^{\circ}+39^{\circ} \right)=$
$=180^{\circ}-159^{\circ}=21^{\circ}$.
4) $AC=8$ см; $BC=4$ см; $\angle C=147^{\circ}$.
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\cdot cos\angle C}=$
$=\sqrt{8^{2}+4^{2}-2\cdot8\cdot4\cdot cos147^{\circ}}=$
$=\sqrt{64+16-64\cdot(-0{,}8387)}=$
$=\sqrt{80+53{,}6768}=$
$=\sqrt{133{,}6768}\approx11{,}6$ (см).
За теоремою синусів:
$\frac{AB}{\sin\angle C}=\frac{AC}{\sin\angle B}$, звідси
$\sin\angle B=\frac{AC\cdot\sin\angle C}{AB}=\frac{8\cdot\sin 147^{\circ}}{11{,}6}$.
Оскільки $\sin 147^{\circ}=\sin\left( 180^{\circ}-147^{\circ} \right)=$
$=\sin 33^{\circ}\approx0{,}5446$:
$\sin\angle B=\frac{8\cdot0{,}5446}{11{,}6}\approx0{,}3756$;
$\angle B\approx22^{\circ}$;
$\angle A=180^{\circ}-(\angle C+\angle B)=$
$=180^{\circ}-\left( 147^{\circ}+22^{\circ} \right)=$
$=180^{\circ}-169^{\circ}=11^{\circ}$.