№ 13.21 Геометрія = № 24.21 Математика
Щоб за відсутності дальноміра знайти відстань між двома недоступними точками $A$ і $B$, вибрали дві доступні точки $C$ і $D$, провели вимірювання й отримали, що $CD=50$ м, $\angle ADB=50^{\circ}$, $\angle ADC=80^{\circ}$, $\angle ACB=40^{\circ}$, $\angle BCD=45^{\circ}$ (мал. 13.8). Знайдіть відстань $AB$ (з точністю до метра).
Розв’язок:
1) У $\bigtriangleup CBD$:
$\angle BCD=45^{\circ}$, $\angle BDC=\angle BDA+\angle ADC=50^{\circ}+80^{\circ}=130^{\circ}$.
$\angle CBD=180^{\circ}-(45^{\circ}+130^{\circ})=5^{\circ}$.
За теоремою синусів:
$\frac{CB}{sin\angle BDC}=\frac{CD}{sin\angle CBD}$
$CB=\frac{50\cdot\sin 130^{\circ}}{\sin 5^{\circ}}\approx$
$\approx\frac{50\cdot0{,}766}{0{,}0872}\approx439{,}5\text{ (м)}$
2) У $\bigtriangleup ACD$:
$\angle ACD=40^{\circ}+45^{\circ}=85^{\circ}$, $\angle ADC=80^{\circ}$.
$\angle CAD=180^{\circ}-(85^{\circ}+80^{\circ})=15^{\circ}$.
За теоремою синусів:
$\frac{AC}{\sin 80^{\circ}}=\frac{CD}{\sin 15^{\circ}}$
$AC=\frac{50\cdot\sin 80^{\circ}}{\sin 15^{\circ}}\approx$
$\approx\frac{50\cdot0{,}9848}{0{,}2588}\approx190{,}3\text{ (м)}$
3) У $\bigtriangleup ACB$ за теоремою косинусів:
$AB^{2}=AC^{2}+CB^{2}-2\cdot AC\cdot CB\cdot cos40^{\circ}$
$AB^{2}\approx190{,}3^{2}+439{,}5^{2}-2\cdot190{,}3\cdot439{,}5\cdot0{,}766$
$AB^{2}\approx36214+193160-128132\approx$
$\approx101242$
$AB\approx\sqrt{101242}\approx318\text{ (м)}$
Відповідь:
$\approx318$ м.