№ 13.20 Геометрія = № 24.20 Математика
З точки до прямої проведено дві похилі, відстань між основами яких $7$ см. Одна з них дорівнює $5$ см і утворює з прямою кут $60^{\circ}$. Знайдіть другу похилу (з точністю до сотих сантиметра), кут між похилими та кут, що утворює друга похила з прямою (з точністю до градуса). Скільки випадків слід розглянути?
Розв’язок:
1 випадок.
У $\bigtriangleup ABC$:
$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cdot cos60^{\circ}}=$
$=\sqrt{5^{2}+7^{2}-2\cdot5\cdot7\cdot\frac{1}{2}}=$
$=\sqrt{25+49-35}=$
$=\sqrt{39}\approx6{,}24\text{ (см)}$.
За теоремою синусів:
$\frac{AC}{\sin 60^{\circ}}=\frac{AB}{sin\angle C}$
$sin\angle C=\frac{5\cdot0{,}866}{6{,}24}\approx0{,}6939$
$\angle C\approx44^{\circ}$.
Кут між похилими $\angle BAC=180^{\circ}-(60^{\circ}+44^{\circ})=76^{\circ}$.
2 випадок.
У $\bigtriangleup ABC$: $\angle B=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.
$AC=\sqrt{5^{2}+7^{2}-2\cdot5\cdot7\cdot cos120^{\circ}}=$
$=\sqrt{25+49-2\cdot5\cdot7\cdot\left(-\frac{1}{2} \right)}=$
$=\sqrt{109}\approx10{,}44\text{ (см)}$.
За теоремою синусів:
$\frac{AC}{\sin 120^{\circ}}=\frac{AB}{sin\angle C}$
$sin\angle C=\frac{5\cdot0{,}866}{10{,}44}\approx0{,}4148$
$\angle C\approx25^{\circ}$.
Кут між похилими $\angle BAC=180^{\circ}-(120^{\circ}+25^{\circ})=35^{\circ}$.
Третє положення похилої неможливе, оскільки похилі мають бути по різні боки від перпендикуляра або по один бік, що вже розглянуто. Третій випадок розв’язку не матиме.
Відповідь:
1) Друга похила $\approx6{,}24$ см, кут між похилими $76^{\circ}$, кут з прямою $44^{\circ}$.
2) Друга похила $\approx10{,}44$ см, кут між похилими $35^{\circ}$, кут з прямою $25^{\circ}$.
Всього два випадки.