№ 13.29 Геометрія = № 24.29 Математика
У трикутнику $ABC$ $\angle C=120^{\circ}$, $H$ — ортоцентр трикутника, $O$ — центр описаного кола. Точка $M$ — середина дуги $ACB$. Доведіть, що $HM=MO$.
Розв’язок:
Ⅰ спосіб
Розглянемо коло, описане навколо $\bigtriangleup ACB$, з центром $O$ і радіусом $R$.
Вписаний кут $\angle ACB=120^{\circ}$ спирається на дугу $AB$, що не містить точки $C$; ця дуга дорівнює $2\cdot120^{\circ}=240^{\circ}$. Тому центральний кут $\angle AOB=360^{\circ}-240^{\circ}=120^{\circ}$.
Точка $M$ — середина дуги $ACB$, тому радіус $OM$ ділить кут $AOB$ навпіл: $\angle AOM=\angle BOM=60^{\circ}$.
У трикутнику $AOM$ маємо $OA=OM=R$ (радіуси), а кут між цими сторонами $\angle AOM=60^{\circ}$. Рівнобедрений трикутник із кутом $60^{\circ}$ є рівностороннім, тому $MA=OA=OM=R$. Так само з $\bigtriangleup BOM$ дістаємо $MB=R$.
Отже, $MA=MB=MO=R$, тобто точка $M$ рівновіддалена від точок $A$, $O$ і $B$. Це означає, що $M$ — центр кола $\omega$, яке проходить через точки $A$, $O$ і $B$ (його радіус дорівнює $R$).
Нехай $H$ — ортоцентр трикутника. Кут між висотами, проведеними з вершин $A$ і $B$, дорівнює
$\angle AHB=180^{\circ}-\angle ACB=$
$=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.$
У чотирикутнику $AHBO$ протилежні кути $\angle AHB$ і $\angle AOB$ у сумі дають $60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ}$, тому навколо нього можна описати коло. Отже, точка $H$ лежить на тому самому колі, що й точки $A$, $O$, $B$, — на колі $\omega$.
Оскільки точки $H$ і $O$ лежать на колі $\omega$ з центром $M$, то $MH=MO=R$.
Що й треба було довести.
Ⅱ спосіб
Нехай $O$ — центр описаного кола радіуса $R$, а вершини задано їх радіус-векторами $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ (кожен має довжину $R$).
Для ортоцентра справедлива рівність $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$.
Центральний кут $\angle AOB$, що відповідає дузі $AB$, яка не містить $C$, дорівнює $2\angle C=240^{\circ}$. Отже, дуга $ACB$ дорівнює $120^{\circ}$, а кут між векторами $\overrightarrow{OA}$ і $\overrightarrow{OB}$ дорівнює $120^{\circ}$.
Точка $M$ — середина дуги $ACB$, тому промінь $OM$ є бісектрисою цього кута і $\angle AOM=\angle BOM=60^{\circ}$. Сума $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ напрямлена вздовж $OM$ і має довжину $2R\cos 60^{\circ}=R$. Оскільки $OM=R$, то $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM}$.
Тоді $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OC}$, звідки $\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OC}$.
Отже, $MH=|\overrightarrow{OC}|=R=OM$, тобто $HM=MO$.
Що й треба було довести.