№ 14.46 Геометрія = № 25.46 Математика
Дві сторони трикутника дорівнюють $\sqrt{3}$ см і $5$ см. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо вона дорівнює радіусу кола, описаного навколо трикутника. Скільки розв’язків має задача?
Розв’язок:
Так як третя сторона дорівнює $R$, то $\frac{R}{\sin\alpha}=2R$, де $\alpha$ — кут, протилежний третій стороні $c$ ($c=R$).
Звідси $\sin\alpha=\frac{1}{2}$, отже $\alpha=30^{\circ}$ або $\alpha=150^{\circ}$.
За теоремою косинусів знайдемо третю сторону $c$:
Якщо $\alpha=30^{\circ}$, то
$c=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+5^{2}-2\sqrt{3}\cdot5\cos 30^{\circ}}=$
$=\sqrt{3+25-10\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=$
$=\sqrt{28-15}=\sqrt{13}\text{ (см)}$.
Якщо $\alpha=150^{\circ}$, то
$c=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+5^{2}-2\sqrt{3}\cdot5\cos 150^{\circ}}=$
$=\sqrt{3+25-10\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}=$
$=\sqrt{28+15}=\sqrt{43}\text{ (см)}$.
Відповідь:
$\sqrt{13}$ см або $\sqrt{43}$ см; задача має два розв’язки.