№ 14.53 Геометрія = № 25.53 Математика
Доведіть, що в будь-якому опуклому чотирикутнику сума довжин діагоналей менша від його периметра.
Розв’язок:
За нерівністю трикутника:
$d_{1}<a+b$ (з $\bigtriangleup ABC$)
$d_{1}<m+n$ (з $\bigtriangleup ADC$)
$d_{2}<a+n$ (з $\bigtriangleup ABD$)
$d_{2}<b+m$ (з $\bigtriangleup BCD$)
Додамо ці нерівності:
$2d_{1}+2d_{2}<2a+2b+2m+2n$
Поділимо обидві частини на $2$:
$d_{1}+d_{2}<a+b+m+n$
Оскільки $a+b+m+n=P$ (периметр чотирикутника), то:
$d_{1}+d_{2}<P$
Що й треба було довести.