№ 19 ВПР 3 Геометрія = № 19 ВПТ 5 Математика
Для медіан трикутника $m_{1}$, $m_{2}$, $m_{3}$ справджується рівність $m_{1}^{2}+m_{2}^{2}=5m_{3}^{2}$. Доведіть, що трикутник прямокутний.
Розв’язок:
Використаємо формули для квадратів медіан:
$m_{a}^{2}=\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}$, $m_{b}^{2}=\frac{2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}$, $m_{c}^{2}=\frac{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}$.
Підставимо їх у рівність $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}$:
$\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}+\frac{2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}=$
$=5\cdot\frac{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}$
Помножимо обидві частини на $4$:
$2b^{2}+2c^{2}-a^{2}+2a^{2}+2c^{2}-b^{2}=$
$=10a^{2}+10b^{2}-5c^{2}$
$a^{2}+b^{2}+4c^{2}=10a^{2}+10b^{2}-5c^{2}$
$9c^{2}=9a^{2}+9b^{2}$
$c^{2}=a^{2}+b^{2}$
Отримана рівність є теоремою Піфагора для сторін $a$, $b$, $c$. Отже, трикутник є прямокутним із гіпотенузою $c$.
Що й треба було довести.