№ 18 ВПР 3 Геометрія = № 18 ВПТ 5 Математика
Доведіть, що в будь-якому трикутнику відношення суми квадратів сторін до суми квадратів медіан дорівнює $\frac{4}{3}$.
Розв’язок:
$(2m_{a})^{2}+a^{2}=2(b^{2}+c^{2})$, звідси
$m_{a}^{2}=\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}$; аналогічно
$m_{b}^{2}=\frac{2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}$; $m_{c}^{2}=\frac{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}$
$m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=$
$=\frac{2c^{2}+2b^{2}-a^{2}}{4}+\frac{2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}+\frac{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}=$
$=\frac{3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}}{4}=$
$=\frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{4}$
Тоді
$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{4}}=\frac{4}{3}$