№ 40 ВПР 3 Геометрія = № 40 ВПТ 5 Математика
Три дороги утворюють трикутник $ABC$, у якого $\angle A=20^{\circ}$, $\angle B=145^{\circ}$, причому $AB$ — шосе, $AC$ і $BC$ — ґрунтові дороги. Швидкість руху шосейною дорогою вдвічі більша за швидкість руху ґрунтовою дорогою. Водій хоче якнайшвидше потрапити з пункту $A$ в пункт $C$. Який маршрут має обрати водій?
Розв’язок:
У $\bigtriangleup ABC$: $\angle C=180^{\circ}-(145^{\circ}+20^{\circ})=15^{\circ}$.
За теоремою синусів:
$\frac{AC}{\sin 145^{\circ}}=\frac{AB}{\sin 15^{\circ}}=\frac{BC}{\sin 20^{\circ}}$
$BC=\frac{AB\cdot sin20^{\circ}}{\sin 15^{\circ}}=$
$=\frac{AB\cdot0{,}343}{0{,}2588}\approx1{,}3\cdot AB$
$AC=\frac{AB\cdot sin145^{\circ}}{\sin 15^{\circ}}=$
$=\frac{AB\cdot0{,}5736}{0{,}2588}\approx2{,}2\cdot AB$
З пункту $A$ в пункт $C$ є два маршрути:
1) $AB+BC$; 2) $AC$.
Довжина 1 маршруту: $AB+BC=AB+1{,}3AB$.
Довжина 2 маршруту: $AC=2{,}2AB$.
Нехай по шосе швидкість автомобіля $x$ км/год. Тоді по ґрунтовій дорозі $\frac{x}{2}$ км/год.
На 1 маршрут водій витрачає:
$\frac{AB}{x}+\frac{1{,}3AB}{\frac{x}{2}}=$
$=\frac{AB}{x}+\frac{2{,}6AB}{x}=\frac{3{,}6AB}{x}$
На 2 маршрут водій витрачає:
$\frac{2{,}2AB}{\frac{x}{2}}=\frac{4{,}4AB}{x}$
Оскільки $\frac{3{,}6AB}{x}<\frac{4{,}4AB}{x}$, то час на перший маршрут менший.
Відповідь:
Маршрут необхідно обирати через пункт $B$.