№ 15.43 Геометрія = № 29.43 Математика
Відстані від точки перетину медіан до вершин гострих кутів прямокутного трикутника дорівнюють $6\sqrt{73}$ і $12\sqrt{13}$ см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.
Розв’язок:
$\bigtriangleup ABC$ — прямокутний; $AK$, $BP$, $CN$ — медіани. $O$ — точка перетину медіан.
$OA=6\sqrt{73}$; $OB=12\sqrt{13}$.
$OA=\frac{2}{3}AK$, звідси:
$AK=OA\cdot\frac{3}{2}=$
$=6\sqrt{73}\cdot\frac{3}{2}=9\sqrt{73}$
$OB=\frac{2}{3}BP$, тоді:
$BP=OB\cdot\frac{3}{2}=$
$=12\sqrt{13}\cdot\frac{3}{2}=18\sqrt{13}$
Нехай $CK=x$; $CP=y$, тоді $CB=2x$; $AC=2y$.
З $\bigtriangleup ACK$: $(2y)^{2}+x^{2}=AK^{2}=$
$=(9\sqrt{73})^{2}=5913$.
З $\bigtriangleup PCB$: $y^{2}+(2x)^{2}=BP^{2}=$
$=(18\sqrt{13})^{2}=4212$.
Маємо систему рівнянь:
$\begin{cases} 4y^{2}+x^{2}=5913 \\ y^{2}+4x^{2}=4212 \end{cases}$
Додамо рівняння: $5y^{2}+5x^{2}=10125 \Rightarrow$
$x^{2}+y^{2}=2025$.
Віднімемо рівняння: $3y^{2}-3x^{2}=1701 \Rightarrow$
$y^{2}-x^{2}=567$.
Розв’язавши систему, отримаємо $y^{2}=1296$, $x^{2}=729$.
$\bigtriangleup PCK$ — прямокутний, $PK^{2}=x^{2}+y^{2}=$
$=729+1296=2025$, тоді $PK=45$ (см).
$PK$ — середня лінія $\bigtriangleup ACB$, тому $PK \parallel AB$ і $PK=\frac{1}{2}AB$.
Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи:
$R=\frac{AB}{2}=PK=45$ (см).
Відповідь:
$45$ см.