№ 17.42 Геометрія = № 31.42 Математика
(Всеукраїнська математична олімпіада, 1985 р.) Точки $A$, $B$, $C$ і $D$ є вершинами опуклого чотирикутника. П’ять із шести можливих відстаней між парами цих точок дорівнюють $1$, $1$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{3}$, $3$. Знайдіть шосту відстань.
Розв’язок:
Відрізок завдовжки $3$ може бути стороною трикутника лише разом із відрізками $\sqrt{3}$ і $\sqrt{3}$, бо $1+1<3$, $1+\sqrt{3}<3$, а $\sqrt{3}+\sqrt{3}>3$.
Нехай $CD=3$. Якби невідомою була відстань $AB$, то в трикутниках $ACD$ і $BCD$ поруч із $CD$ стояли б чотири відстані $\sqrt{3}$, а їх лише дві. Отже, в одному з цих трикутників, нехай $ACD$, усі сторони відомі: $AC=AD=\sqrt{3}$. Залишаються відстані $1$ і $1$: це $AB$ і одна з відстаней $BC$, $BD$ (не обидві, бо трикутника зі сторонами $1$, $1$, $3$ не існує). Нехай $AB=BC=1$. Знайдемо шосту відстань $BD$.
З $\bigtriangleup ACD$ (за теоремою косинусів):
$cos\angle ACD=\frac{3^{2}+(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{2\cdot3\cdot\left( \sqrt{3} \right)}=$
$=\frac{9}{6\sqrt{3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Тоді $\angle ACD=30^{\circ}$.
З $\bigtriangleup ABC$ (за теоремою косинусів):
$cos\angle BCA=\frac{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}-1^{2}}{2\cdot1\cdot\left( \sqrt{3} \right)}=$
$=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Тоді $\angle BCA=30^{\circ}$.
Точки $B$ і $D$ лежать по різні боки від прямої $AC$ (інакше точка $B$ лежала б на відрізку $CD$, а це неможливо для вершин опуклого чотирикутника), тому $\angle BCD=30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}$.
З $\bigtriangleup BCD$ (за теоремою косинусів):
$BD=\sqrt{BC^{2}+CD^{2}-2BC\cdot CD\cdot cos60^{\circ}}=$
$=\sqrt{1^{2}+3^{2}-2\cdot1\cdot3\cdot\frac{1}{2}}=$
$=\sqrt{1+9-3}=\sqrt{7}$
Відповідь:
$\sqrt{7}$.