№ 17.42 Геометрія = № 31.42 Математика
(Всеукраїнська математична олімпіада, 1985 р.) Точки $A$, $B$, $C$ і $D$ є вершинами опуклого чотирикутника. П’ять із шести можливих відстаней між парами цих точок дорівнюють $1$, $1$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{3}$, $3$. Знайдіть шосту відстань.
Розв’язок:
Нехай $A$, $B$, $C$, $D$ — довільні точки. $AB=1$ см; $BC=1$ см; $AD=\sqrt{3}$ см; $CD=3$ см. Знайдіть $BD$.
З $\bigtriangleup ACD$ (за теоремою косинусів):
$cos\angle ACD=\frac{3^{2}+(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{2\cdot3\cdot\left( \sqrt{3} \right)}=$
$=\frac{9}{6\sqrt{3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Тоді $\angle ACD=30^{\circ}$.
З $\bigtriangleup ABC$ (за теоремою косинусів):
$cos\angle BCA=\frac{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}-1^{2}}{2\cdot1\cdot\left( \sqrt{3} \right)}=$
$=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Тоді $\angle BCA=30^{\circ}$.
Звідси $\angle BCD=30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}$.
З $\bigtriangleup BCD$ (за теоремою косинусів):
$BD=\sqrt{BC^{2}+CD^{2}-2BC\cdot CD\cdot cos60^{\circ}}=$
$=\sqrt{1^{2}+3^{2}-2\cdot1\cdot3\cdot\frac{1}{2}}=$
$=\sqrt{1+9-3}=\sqrt{7}\text{ (см)}$
Відповідь:
$\sqrt{7}$ см.