№ 18 ВПР 4 Геометрія = № 18 ВПТ 7 Математика
Доведіть, що сума квадратів відстаней від довільної точки кола до вершин вписаного в нього квадрата є величиною сталою. Знайдіть цю величину, якщо радіус кола дорівнює $R$.
Розв’язок:
Не залежно від положення точки $K$ на колі: $\bigtriangleup AKC$ — прямокутний і $\bigtriangleup BKD$ — прямокутний.
$KA^{2}+KC^{2}=AC^{2}$ (за теоремою Піфагора з $\bigtriangleup AKC$);
$KB^{2}+KD^{2}=BD^{2}$ (за теоремою Піфагора з $\bigtriangleup BKD$),
тоді $KA^{2}+KC^{2}+KB^{2}+KD^{2}=$
$=AC^{2}+BD^{2}=(2R)^{2}+(2R)^{2}=$
$=4R^{2}+4R^{2}=8R^{2}$.
Отже, сума квадратів відстаней від довільної точки кола до вершини вписаного в коло квадрата — величина стала і дорівнює $8R^{2}$.