№ 18 ВПР 4 Геометрія = № 18 ВПТ 7 Математика
Доведіть, що сума квадратів відстаней від довільної точки кола до вершин вписаного в нього квадрата є величиною сталою. Знайдіть цю величину, якщо радіус кола дорівнює $R$.
Розв’язок:
Діагоналі $AC$ і $BD$ вписаного квадрата є діаметрами кола (прямі вписані кути $ABC$ і $BCD$ спираються на них), тому $AC=BD=2R$. Незалежно від положення точки $K$ на колі вписані кути $AKC$ і $BKD$ спираються на діаметри, тому $\angle AKC=\angle BKD=90^{\circ}$, тобто $\bigtriangleup AKC$ і $\bigtriangleup BKD$ — прямокутні.
$KA^{2}+KC^{2}=AC^{2}$ (за теоремою Піфагора з $\bigtriangleup AKC$);
$KB^{2}+KD^{2}=BD^{2}$ (за теоремою Піфагора з $\bigtriangleup BKD$),
тоді $KA^{2}+KC^{2}+KB^{2}+KD^{2}=$
$=AC^{2}+BD^{2}=(2R)^{2}+(2R)^{2}=$
$=4R^{2}+4R^{2}=8R^{2}$.
Отже, сума квадратів відстаней від довільної точки кола до вершин вписаного в коло квадрата — величина стала і дорівнює $8R^{2}$.
Відповідь:
$8R^{2}$.