№ 34 ВПР 4 Геометрія = № 34 ВПТ 7 Математика
Навколо кола радіуса $r$ описано трикутник, кути якого відносяться як $1\ :2\ :3$. Знайдіть довжини дуг, кінцями яких є точки дотику.
Розв’язок:
Кути трикутника відносяться як $1\ :2\ :3$. Нехай $x$ — коефіцієнт пропорційності.
$x+2x+3x=180^{\circ}$
$6x=180^{\circ}$
$x=30^{\circ}$
Отже, кути трикутника дорівнюють $30^{\circ}$, $60^{\circ}$, $90^{\circ}$.
$O$ — центр вписаного кола. Радіуси $OK$, $OM$, $ON$ перпендикулярні до сторін трикутника. Кут між радіусами, проведеними до точок дотику на двох сторонах, що сходяться у вершині, дорівнює $180^{\circ}$ мінус кут при цій вершині (з чотирикутника «вершина — дві точки дотику — центр», де два кути по $90^{\circ}$).
Біля вершини $C$ ($90^{\circ}$): $\angle KON=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$.
Біля вершини $B$ ($60^{\circ}$): $\angle KOM=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.
Біля вершини $A$ ($30^{\circ}$): $\angle MON=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$.
Перевірка: $90^{\circ}+120^{\circ}+150^{\circ}=360^{\circ}$.
Довжини дуг обчислюємо за формулою $l=\frac{\pi r\alpha}{180^{\circ}}$:
$l_{KN}=\frac{\pi r\cdot90^{\circ}}{180^{\circ}}=\frac{\pi r}{2}$
$l_{KM}=\frac{\pi r\cdot120^{\circ}}{180^{\circ}}=\frac{2\pi r}{3}$
$l_{MN}=\frac{\pi r\cdot150^{\circ}}{180^{\circ}}=\frac{5\pi r}{6}$
Відповідь:
$\frac{\pi r}{2}$, $\frac{2\pi r}{3}$, $\frac{5\pi r}{6}$.