№ 33 ВПР 4 Геометрія = № 33 ВПТ 7 Математика
За даною довжиною дуги $l$ знайдіть її хорду, якщо градусна міра дуги:
1) $135^{\circ}$;
2) $240^{\circ}$.
Розв’язок:
Нехай $a$ — хорда, $R$ — радіус кола. Довжина дуги $l=\frac{\pi R\alpha}{180^{\circ}}$. За теоремою косинусів для трикутника $AOB$: $a=\sqrt{R^{2}+R^{2}-2R^{2}\cos\alpha}=\sqrt{2R^{2}(1-\cos\alpha)}$.
1) $\alpha=135^{\circ}$.
$l=\frac{\pi R\cdot135^{\circ}}{180^{\circ}}=\frac{3\pi R}{4} \Longrightarrow R=\frac{4l}{3\pi}$.
$a=\sqrt{R^{2}+R^{2}-2R^{2}\cos 135^{\circ}}=$
$=\sqrt{2R^{2}-2R^{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}=$
$=R\sqrt{2+\sqrt{2}}=$
$=\frac{4l}{3\pi}\sqrt{2+\sqrt{2}}$.
2) $\alpha=240^{\circ}$.
$l=\frac{\pi R\cdot240^{\circ}}{180^{\circ}}=\frac{4\pi R}{3} \Longrightarrow R=\frac{3l}{4\pi}$.
$a=\sqrt{R^{2}+R^{2}-2R^{2}\cos 240^{\circ}}=$
$=\sqrt{2R^{2}-2R^{2}(-0{,}5)}=$
$=\sqrt{3R^{2}}=R\sqrt{3}=$
$=\frac{3l\sqrt{3}}{4\pi}$.
Відповідь:
1) $\frac{4l}{3\pi}\sqrt{2+\sqrt{2}}$;
2) $\frac{3l\sqrt{3}}{4\pi}$.