№ 50 ВПР 4 Геометрія = № 50 ВПТ 7 Математика
У крузі радіуса $R$ по різні боки від центра проведено дві паралельні між собою хорди, одна з яких стягує дугу $60^{\circ}$, друга — $120^{\circ}$. Знайдіть площу частини круга, що міститься між хордами.
Розв’язок:
Щоб знайти площу частини круга, що міститься між хордами, треба від площі круга відняти площі двох сегментів:
$S_{\text{круга}}=\pi R^{2}$.
$S_{\text{сег. 1}}=\frac{\pi R^{2}}{360^{\circ}}\cdot60^{\circ}-\frac{1}{2}R^{2}\sin 60^{\circ}=$
$=\frac{\pi R^{2}}{6}-\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}$.
$S_{\text{сег. 2}}=\frac{\pi R^{2}}{360^{\circ}}\cdot120^{\circ}-\frac{1}{2}R^{2}\sin 120^{\circ}=$
$=\frac{\pi R^{2}}{3}-\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}$.
Площа частини між хордами:
$S=\pi R^{2}-\left( \frac{\pi R^{2}}{6}-\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}+\frac{\pi R^{2}}{3}-\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4} \right)=$
$=\pi R^{2}-\left( \frac{\pi R^{2}+2\pi R^{2}}{6}-\frac{2R^{2}\sqrt{3}}{4} \right)=$
$=\pi R^{2}-\left( \frac{3\pi R^{2}}{6}-\frac{R^{2}\sqrt{3}}{2} \right)=$
$=\pi R^{2}-\frac{\pi R^{2}}{2}+\frac{R^{2}\sqrt{3}}{2}=$
$=\frac{2\pi R^{2}-\pi R^{2}+R^{2}\sqrt{3}}{2}=$
$=\frac{\pi R^{2}+R^{2}\sqrt{3}}{2}=$
$=\frac{R^{2}(\pi+\sqrt{3})}{2}$
Відповідь:
$\frac{R^{2}(\pi+\sqrt{3})}{2}$.