№ 19.12 Геометрія = № 40.12 Математика
$ABCD$ — паралелограм (мал. 19.13). Точка $E$ симетрична точці $A$ відносно точки $D$. Доведіть, що:
1) точки $C$ і $D$ симетричні відносно точки $O$;
2) точки $B$ і $E$ симетричні відносно точки $O$.
Розв’язок:
$A$ і $E$ симетричні відносно $D$, тому $AD=DE$. Оскільки $ABCD$ — паралелограм, то $AD=BC$. Отже, $DE=BC$.
Розглянемо $\bigtriangleup ODE$ та $\bigtriangleup OCB$:
— $\angle OED=\angle OBC$ (внутрішні різносторонні при $BC \parallel AD$ і січній $BE$);
— $\angle ODE=\angle OCB$ (внутрішні різносторонні при $BC \parallel AD$ і січній $CD$);
— $DE=BC$ (доведено вище).
Отже, $\bigtriangleup ODE=\bigtriangleup OCB$ (за стороною та двома прилеглими кутами, II ознака рівності трикутників).
З рівності трикутників випливає:
1) $OD=OC$. Отже, $C$ і $D$ симетричні відносно $O$.
2) $BO=EO$. Отже, $B$ і $E$ симетричні відносно $O$.
Що й треба було довести.