№ 19.13 Геометрія = № 40.13 Математика
$ABCD$ — паралелограм (мал. 19.13). Точка $E$ симетрична точці $B$ відносно точки $O$. Доведіть, що:
1) точки $C$ і $D$ симетричні відносно точки $O$;
2) точки $A$ і $E$ симетричні відносно точки $D$.
Розв’язок:
$BO=EO$, бо $E$ і $B$ симетричні відносно $O$.
$\angle COB=\angle DOE$ (вертикальні); $\angle CBO=\angle DEO$ (внутрішні різносторонні при $BC \parallel AD$ і січній $BE$).
Звідси $\bigtriangleup BOC=\bigtriangleup EOD$ (за стороною і двома прилеглими кутами).
З рівності трикутників випливає:
1) $CO=DO$. Отже, $C$ і $D$ симетричні відносно точки $O$.
2) $DE=CB$. Оскільки $ABCD$ — паралелограм, то $CB=AD$, а отже $DE=AD$. Точка $E$ лежить на прямій $AD$ по другий бік від $D$, ніж $A$, і $DE=AD$, тому $D$ — середина відрізка $AE$. Отже, $A$ і $E$ симетричні відносно точки $D$.
Що й треба було довести.