№ 19.22 Геометрія = № 40.22 Математика
Знайдіть довжини сторін $AB$ і $AC$ трикутника $ABC$, якщо $BC=8$ см, а довжини висот, проведених до $AC$ і $BC$, дорівнюють відповідно $6{,}4$ см і $4$ см. Скільки випадків слід розглянути?
Розв’язок:
Площу трикутника можна обчислити двома способами:
$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AM=$
$=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BK$
Звідси:
$BC\cdot AM=AC\cdot BK$
$8\cdot4=AC\cdot6{,}4$
$AC=\frac{32}{6{,}4}=5\text{ (см)}$
$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\cdot8\cdot4=16\text{ (см}^{2}\text{)}$
Також площу можна виразити через сторону $AC$, $BC$ та кут між ними:
$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot sin\angle C$
$16=\frac{1}{2}\cdot5\cdot8\cdot sin\angle C$
$16=20\cdot sin\angle C$
$sin\angle C=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}$
З основної тригонометричної тотожності:
$\cos^{2}\angle C=1-\left( \frac{4}{5} \right)^{2}=$
$=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$
$\cos\angle C=\frac{3}{5}$ або $\cos\angle C=-\frac{3}{5}$
За теоремою косинусів $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos\angle C$.
1) Якщо $\cos\angle C=\frac{3}{5}$:
$AB=\sqrt{8^{2}+5^{2}-2\cdot8\cdot5\cdot\frac{3}{5}}=$
$=\sqrt{64+25-48}=\sqrt{41}\text{ (см)}$
2) Якщо $\cos\angle C=-\frac{3}{5}$:
$AB=\sqrt{8^{2}+5^{2}-2\cdot8\cdot5\cdot\left(-\frac{3}{5} \right)}=$
$=\sqrt{64+25+48}=\sqrt{137}\text{ (см)}$
Відповідь:
$AC=5$ см; $AB=\sqrt{41}$ см або $AB=\sqrt{137}$ см; розглянуто два випадки.